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二维数组：矩阵操作与 TypeScript 实战
概述
二维数组可以看作“数组中的数组”，也可以看作矩阵。它用两个维度描述位置：行和列。
在算法中，二维数组常用于地图、棋盘、图像像素、表格和动态规划状态表。它比一维数组多了一个维度，也多了方向、边界和坐标转换这些问题。
学习二维数组的重点不是记住某个矩阵题，而是掌握三个模型：
- 如何遍历每一个格子；
- 如何在上下左右方向移动；
- 如何把局部操作扩展到整张矩阵。
前置知识
- 行列坐标：二维数组通过
(row, col)定位元素- 方向数组：网格搜索常用四方向或八方向移动
- 边界判断：每次移动都要确认坐标合法
问题定义
一个 m x n 的矩阵可以表示为：
matrix[row][col]
row: 0..m-1col: 0..n-1例如：
[ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]其中 matrix[1][2] 是第 1 行第 2 列，也就是 6。
二维数组常见问题可以归为几类：
| 类型 | 代表问题 | 核心能力 |
|---|---|---|
| 遍历 | 按行、按列、对角线 | 控制循环边界 |
| 变换 | 旋转、翻转、转置 | 坐标映射 |
| 搜索 | 岛屿数量、迷宫 | 方向数组 + BFS/DFS |
| 预处理 | 二维前缀和 | 区域快速查询 |
核心原理：分步图解
行列遍历
最基础的遍历是双层循环：
row = 0: 1 2 3row = 1: 4 5 6row = 2: 7 8 9外层控制行，内层控制列。
方向数组
当需要从一个格子移动到相邻格子时，可以用方向数组统一处理：
上: (-1, 0)下: ( 1, 0)左: ( 0, -1)右: ( 0, 1)从 (r, c) 出发，下一个位置是：
nextRow = r + drnextCol = c + dc坐标变换
矩阵旋转和转置，本质是坐标重新映射。
顺时针旋转 90 度时：
old[row][col] -> next[col][n - 1 - row]理解坐标映射，比背代码更可靠。
算法精细步骤
以“岛屿数量”为例，二维数组的搜索流程非常典型：
- 遍历每一个格子；
- 遇到陆地
1，说明发现一个新岛屿； - 从该格子出发，用 DFS 或 BFS 把相连陆地全部标记；
- 继续扫描剩余格子；
- 最终计数就是岛屿数量。
关键边界判断：
0 <= row < rows0 <= col < cols只要访问二维数组，就应该先问自己：当前位置是否越界？是否已经访问过？是否满足题目条件？
TypeScript 实现
1. 矩阵转置
function transpose(matrix: number[][]): number[][] { const rows = matrix.length; const cols = matrix[0]?.length ?? 0; const result: number[][] = Array.from({ length: cols }, () => Array(rows));
for (let r = 0; r < rows; r++) { for (let c = 0; c < cols; c++) { result[c][r] = matrix[r][c]; } }
return result;}2. 岛屿数量
function numIslands(grid: string[][]): number { const rows = grid.length; const cols = grid[0]?.length ?? 0; const directions = [ [1, 0], [-1, 0], [0, 1], [0, -1], ];
function dfs(row: number, col: number): void { if (row < 0 || row >= rows || col < 0 || col >= cols) return; if (grid[row][col] !== '1') return;
grid[row][col] = '0';
for (const [dr, dc] of directions) { dfs(row + dr, col + dc); } }
let count = 0;
for (let row = 0; row < rows; row++) { for (let col = 0; col < cols; col++) { if (grid[row][col] === '1') { count++; dfs(row, col); } } }
return count;}这个实现把已经访问过的陆地改成水，避免额外的 visited 矩阵。
工程优化：二维前缀和
如果需要频繁查询子矩阵之和，逐格累加会很慢。二维前缀和可以把每次查询降到 O(1)。
class NumMatrix { private readonly prefix: number[][];
constructor(matrix: number[][]) { const rows = matrix.length; const cols = matrix[0]?.length ?? 0; this.prefix = Array.from({ length: rows + 1 }, () => Array(cols + 1).fill(0));
for (let r = 1; r <= rows; r++) { for (let c = 1; c <= cols; c++) { this.prefix[r][c] = matrix[r - 1][c - 1] + this.prefix[r - 1][c] + this.prefix[r][c - 1] - this.prefix[r - 1][c - 1]; } } }
sumRegion(row1: number, col1: number, row2: number, col2: number): number { return ( this.prefix[row2 + 1][col2 + 1] - this.prefix[row1][col2 + 1] - this.prefix[row2 + 1][col1] + this.prefix[row1][col1] ); }}多加一行一列哨兵，可以让边界计算更统一。
应用与局限
典型应用
- 表格数据、棋盘、地图和网格；
- 图像像素处理；
- BFS/DFS 网格搜索；
- 动态规划状态表；
- 子矩阵统计与区域查询。
局限性
- 边界条件比一维数组更容易出错；
- 大矩阵会占用大量内存；
- JavaScript 中二维数组不是连续矩阵，而是嵌套数组；
- 原地修改矩阵时要注意是否影响调用方。
总结
graph LR
A[行列坐标] --> B[方向移动]
B --> C[边界判断]
C --> D[遍历/搜索/变换]- 二维数组的核心是行列坐标和边界判断。
- 方向数组能统一处理上下左右移动。
- 矩阵变换本质是坐标映射。
- 搜索类问题通常是遍历 + DFS/BFS 标记。
- 高频区域查询适合用二维前缀和优化。
二维数组：矩阵操作与 TypeScript 实战
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